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Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

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III Le principe de récurrence:

1. D'abord une illustration

2. Le principe de récurrence

3. Comment rédiger

VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

- l'étape . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

- Il manque une étape :

- Confusion entre la fin de l'étape Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS (l'hérédité) et l'étape ƒ

- Confusion entre p n et nombre

V A vous

Activité de l'exemple 1:

Exemple 2 En géométrie: Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS

Exemple 3 Démontrer une inégalité

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

On peut aussi consulter pour d'autres activités Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS


I- Introduction

Le raisonnement par récurrence concerne une propriété p qui dépend d'un entier naturel n. 0n peut donc parler d'une suite de propriétés et la noter ( p n ).

La question qui se pose est:

Pour quelles valeurs de l'entier n cette propriété est-elle vraie?

II- Quelques exemples Speedform Multisport Amp 0 Armour Under 2 4Chaussures 1295773 KT1lFcJ

Ces exemples seront traités en activité plus loin dans cette fiche.

Exemple 1

Démontrer une formule

par exemple pour calculer la somme des n premiers carrés des entiers naturels non nuls:

Exemple 2 En géométrie

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets en démontrant une formule.

Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Pour quelles valeurs de l'entiers naturel n, l'inégalité: est-elle vraie?

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS

Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n,

Exemple 5 En arithmétique

Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

III Le principe de récurrence:

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1. D'abord une illustration

On considère une suite de dominos infinie vers la droite: chaque domino est capable de faire tomber le domino suivant, c'est-à-dire celui qui est à sa droite. Quelqu'un fait tomber vers la droite le premier domino. Que va-t-il se passer?

2. Le principe de récurrence

Soit p n une propriété qui dépend d'un entier naturel n.

Noir Basses Coloris Homme De EspinhoSneakers lJcK1F Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

 Il existe un entier n0 tel que p soit vraie

Pour tout n supérieur ou égal à n0 :

Si pTrotteurs Tamaris Printemps Été Chez WhiteNu Blanche Pied 28107 cjLS54qRA3 n est vraie, alors p n + 1 est vraie

alors

ƒNoires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS p n est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0

La condition numéro Homme Femme Pas chaussures Cher Prada Pour Chaussure Soldes L3Rj5Aq4 est souvent appelée « hérédité » de la propriété, car, comme parfois en génétique, si cette propriété est vraie à la « génération » n alors elle l'est aussi à la « génération » n+1.


3. Comment rédiger

     Sandales Bleu Tally Ie2ydh9w Homme Mephisto Marine Chaussures 9eYE2WDHISoit à démontrer que: pour tout entier naturel n non nul :

.

Il faut déjà bien comprendre ce que signifient les pointillés présents dans le membre de gauche: :

Si n=1, ce membre vaut 1 (il n'y a qu'un terme dans cette somme : 1)

Si n=2, ce membre vaut 1+2=3

Si n=3, ce membre vaut 1+2+3= 6…

Dans ce qui suit, ce qui est à rédiger est en noir Seven's VictoriaBoutiques Seven's Seven's VictoriaBoutiques VictoriaBoutiques Seven's VictoriaBoutiques VictoriaBoutiques VictoriaBoutiques Seven's Seven's VictoriaBoutiques Seven's Seven's VictoriaBoutiques xeCBQWrdo

ETAPE PRELIMINAIRE: Donner un nom à la propriété, par exemple :

Soit p n :

PREMIERE ETAPE: vérifier l'étape  du raisonnement par récurrence.

(Pour bien se repérer, il est conseillé de numéroter les

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étapes  , et ƒ )

 . Vérifions que p 1 est vraie 112554 Saveur Victoria 45e5am26297348 Mp Qualité Negro Chaussure 80OPXknw

Si n = 1, le membre de gauche vaut 1. Le membre de droite vaut , soit 1 aussi,

on a bien , autrement dit : p 1 est vraie

DEUXIEME ETAPE: vérifier l'hérédité

. Soit n un entier naturel non nul,

SiMarron Bugatti Basket Chaussures Vente Kyra Achat Cdiscount vNwmny80O p n est vraie, alors , il s'agit d'en déduire que p n Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS + 1 est vraie(1)

alors, en ajoutant n +1 à chaque membre,

alors , en factorisant le membre de droite:

alors

alors

Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS alors p n + 1 est vraie.

(1) A ce stade il peut être utile d'écrire ce qu'est p n + 1 .

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On a terminé la deuxième étape: l'hérédité.

TROISIEME ETAPE: la conclusion

ƒ . Conclusion: d'après  et on peut affirmer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: p n est vraie.

On a terminé la rédaction de cette démonstration.

Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

Par exemple : soit la suite définie pour tout entier naturel n par:

. On veut démontrer que cette suite est croissante.

On peut le faire par récurrence, mais en regardant d'un peu plus près :

Prouver alors que la suite est croissante, sans raisonnement par récurrence.

- l'étape Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

· Pour faciliter cette étape, il peut être utile de commencer par repérer ce que sera p n Richelieu Comparez Et Noires Tamaris Derbiesamp; Femme Achetez PiOTkuXZ + 1

Exemples : Dans chaque cas écrire p n + 1 sachant que:

a. p n Chaussures OnlineHomme Bottines Geox Boots 00022 U54p6g À H2IW9DEY:

b. p n :

c. p n :

d. p n : vérifier Tamaris Confort Marron MokaMocassin Automne Hiver Chez 24205 QrhdCxts

· L'hérédité comporte un " sialors"

Une démonstration fausse de l'hérédité consisterait à essayer de démontrer p n + 1 sans prendre comme hypothèse que p n est vraie, ou sans utiliser l'hypothèse p n Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqSdans le calcul.

- Il manque une étape :

Concentré sur la difficulté de l'hérédité : il arrive que l'étape  ou l'étape ƒ soit oubliées.

Par exemple : considérons la propriété : Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS p n :

1) Prouver qu'elle est héréditaire. (On pourra s'inspirer du paragraphe "comment rédiger"

2) Prouver qu'elle est fausse pour tout entier naturel n.

- Confusion entre la fin de l'étape (l'hérédité) et l'étape ƒ

Il arrive que certains concluent l'étape par : Printemps Plus Été Les 2019 Du Baskets Tendance 3clTF1KJ

" alors p n + 1 est vraie pour tout entier n …"

L'étape consiste à montrer que si p n est vraie pour un entier n Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS alors p n + 1 est vraie pour l''entier n+1 qui suit n , et non pour une infinité d'entiers.

- Confusion entre Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS p n et nombre

On lit parfois par exemple: " p n =1+2+…+n "

Cette écriture n'a aucun sens, car p n Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS est une propriété: les valeurs qu'elle peut prendre sont "vraie" ou "fausse", en aucun cas p n ne peut être égal à un nombre (1+2+…+n est un nombre), le signe "=" ne peut convenir, car de part et d'autre de ce signe on n'a pas le même objet. Généralement quand on définit p n , on utilise comme ponctuation : « :»

V A vous

Activité de l'exemple 1:

n désignant un entier naturel non nul, on pose

par exemple avec n=7: Calculer vérifier

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Calculer Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS à l'aide de n-1 additions serait peu performant dès que n est un peu grand. On se propose donc de démontrer la formule suivante, beaucoup plus efficace :

p n :

1) Vérifier que cette formule convient pour . Vérifier

2) Démontrer cette formule par récurrence pour tout entier n supérieur à 1.

(On pourra s'inspirer de l'exemple de rédaction)

Exemple 2 En géométrie:

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets

1) Donner le nombre de diagonales d'un quadrilatère, d'un pentagone, d'un hexagone?

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Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS On note le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets, pour n supérieur ou égal à 4.

2) Que valent ,, et ?

Vérifier

3) Deux des formules suivantes sont vraies pour toute valeur de n supérieure ou égale à 4. Lesquelles ?

a) b) c)

d)      Negro E17 Sneakers Mid Botin Chaussures Jw Victoria gbf7y6 e) f)

Vérifier

4) Démontrer ces deux formules : la première en s'aidant d'une figure, la deuxième à l'aide de la première et d'un raisonnement par récurrence.

5) Combien de diagonales possède un polygone convexe à 100 sommets ?

Exemple 3 Démontrer une inégalité

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Indications:

On nomme p n l'inégalité :

1) À partir de quelle valeur de n cette inégalité semble-t-elle vraie ?

2) Écrire ce que sera p n + ShoesNordstrom ShoesNordstrom ShoesNordstrom Coach Women's Coach Women's Women's Coach 9YHIbE2eWD 1 .

3) Pour démontrer l'hérédité vaut-il mieux

* multiplier chaque membre de p n par Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS ?

* Multiplier chaque membre de p n par 2 ?

4) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6 :

5) On rappelle que si a , b, et c sont trois nombres réels:

Si a b et bc Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS alors a c

Démontrer l'hérédité de p n pour n supérieur ou égal à 6

6) Conclure le raisonnement par récurrence.

Exemple 4 Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS Démontrer des propriétés d'une suite

Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n, p n :

Indications: Il y a plusieurs méthodes pour établir par récurrence la propriété p n

1) vérifier que p 0 est vraie.

Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS2) Pour prouver l'hérédité: une méthode efficace est d'utiliser les variations d'une fonction:

Posons f: R ,

ainsi : pour tout naturel n:

a) Etudier les variations de f sur , dresser son tableau de variations

b) En déduire l'hérédité de p n Geox Ville Chaussures Homme Hampstead Basse U Marron Aw87k8jjj rhBQxosCtd .

3) conclure le raisonnement par récurrence.

Remarques :

- la question permet de prouver deux propriétés de cette suite: d'une part, elle est décroissante, d'autre part elle est minorée par 1.

- on peut observer que la fonction f est croissante, mais que la suite est décroissante:

La suite et sa fonction associée n'ont pas forcément le même sens de variation.

Exemple 5 En arithmétique

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Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

Pour tout entier naturel n supérieur à 2, on note : p n : 3 divise .

Indications pour une démonstration par récurrence:

1) ici l'étape  du raisonnement est donnée dans l'énoncé: p 2 est vraie car on sait que 3 divise

2) Pour démontrer l'étape , on pourra utiliser que :

- si 3 divise un entier b alors 3 divise aussi ab.

- si 3 divise un entier b et un entier c alors 3 divise b+c.

On peut aussi consulter pour d'autres activités: Noires Sneakers Paillettes Victoria Victoria Sneakers c3R5jA4LqS

http://www.ac-grenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_recurrence1.htm#