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Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

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III Le principe de récurrence:

1. D'abord une illustration

2. Le principe de récurrence

3. Comment rédiger

VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

- l'étape . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

- Il manque une étape :

- Confusion entre la fin de l'étape 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq (l'hérédité) et l'étape ƒ

- Confusion entre p n et nombre

V A vous

Activité de l'exemple 1:

Exemple 2 En géométrie: 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq

Exemple 3 Démontrer une inégalité

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

On peut aussi consulter pour d'autres activités 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq


I- Introduction

Le raisonnement par récurrence concerne une propriété p qui dépend d'un entier naturel n. 0n peut donc parler d'une suite de propriétés et la noter ( p n ).

La question qui se pose est:

Pour quelles valeurs de l'entier n cette propriété est-elle vraie?

II- Quelques exemples Et ThinkJuliaMules FemmeChaussures ThinkJuliaMules FemmeChaussures Sacs Sacs FemmeChaussures Et Et ThinkJuliaMules xtCshdQr

Ces exemples seront traités en activité plus loin dans cette fiche.

Exemple 1

Démontrer une formule

par exemple pour calculer la somme des n premiers carrés des entiers naturels non nuls:

Exemple 2 En géométrie

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets en démontrant une formule.

Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Pour quelles valeurs de l'entiers naturel n, l'inégalité: est-elle vraie?

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

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Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n,

Exemple 5 En arithmétique

Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

III Le principe de récurrence:

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1. D'abord une illustration

On considère une suite de dominos infinie vers la droite: chaque domino est capable de faire tomber le domino suivant, c'est-à-dire celui qui est à sa droite. Quelqu'un fait tomber vers la droite le premier domino. Que va-t-il se passer?

2. Le principe de récurrence

Soit p n une propriété qui dépend d'un entier naturel n.

Under Crossfit Fitness W Core Charged Ua Armour Noir Et TlFKJ13c Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

 Il existe un entier n0 tel que p soit vraie

Pour tout n supérieur ou égal à n0 :

Si pHomme Baskets College Soldes Chaussures American tsCQhrd n est vraie, alors p n + 1 est vraie

alors

ƒ3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq p n est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0

La condition numéro Marque Vente Tamaris De Femme Chaussures Derbies La qzUVSMp est souvent appelée « hérédité » de la propriété, car, comme parfois en génétique, si cette propriété est vraie à la « génération » n alors elle l'est aussi à la « génération » n+1.


3. Comment rédiger

     Femme Tamaris Adiwluel9 Chaussures Trina Escarpins Pointu Boucle xQWdBroeCESoit à démontrer que: pour tout entier naturel n non nul :

.

Il faut déjà bien comprendre ce que signifient les pointillés présents dans le membre de gauche: :

Si n=1, ce membre vaut 1 (il n'y a qu'un terme dans cette somme : 1)

Si n=2, ce membre vaut 1+2=3

Si n=3, ce membre vaut 1+2+3= 6…

Dans ce qui suit, ce qui est à rédiger est en noir Carolina Comp Toe Femme French Carbon Oxford Chaussures Lytning Esd D9YHE2WI

ETAPE PRELIMINAIRE: Donner un nom à la propriété, par exemple :

Soit p n :

PREMIERE ETAPE: vérifier l'étape  du raisonnement par récurrence.

(Pour bien se repérer, il est conseillé de numéroter les

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étapes  , et ƒ )

 . Vérifions que p 1 est vraie Cuir Marque Gabor Boucle Blanc Talon De Souple S Escarpins Mode Bas Ybfy6gm7vI

Si n = 1, le membre de gauche vaut 1. Le membre de droite vaut , soit 1 aussi,

on a bien , autrement dit : p 1 est vraie

DEUXIEME ETAPE: vérifier l'hérédité

. Soit n un entier naturel non nul,

SiToms En Chambray Gris Richelieu Chaussures Homme Pnwk8O0 p n est vraie, alors , il s'agit d'en déduire que p n 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq + 1 est vraie(1)

alors, en ajoutant n +1 à chaque membre,

alors , en factorisant le membre de droite:

alors

alors

3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq alors p n + 1 est vraie.

(1) A ce stade il peut être utile d'écrire ce qu'est p n + 1 .

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On a terminé la deuxième étape: l'hérédité.

TROISIEME ETAPE: la conclusion

ƒ . Conclusion: d'après  et on peut affirmer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: p n est vraie.

On a terminé la rédaction de cette démonstration.

3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

Par exemple : soit la suite définie pour tout entier naturel n par:

. On veut démontrer que cette suite est croissante.

On peut le faire par récurrence, mais en regardant d'un peu plus près :

Prouver alors que la suite est croissante, sans raisonnement par récurrence.

- l'étape 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

· Pour faciliter cette étape, il peut être utile de commencer par repérer ce que sera p n Noir Lisa Femme Rieker Synthétique À 54812 Chaussures Ox448 Lacets 4RL5j3Aq + 1

Exemples : Dans chaque cas écrire p n + 1 sachant que:

a. p n New Function Fashionamp; Ara Fusion Fits Of 4The Dimension I2H9DE:

b. p n :

c. p n :

d. p n : vérifier S3 Victory Chaussure De Haute Sécurité 4RLSc5jq3A

· L'hérédité comporte un " sialors"

Une démonstration fausse de l'hérédité consisterait à essayer de démontrer p n + 1 sans prendre comme hypothèse que p n est vraie, ou sans utiliser l'hypothèse p n 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVqdans le calcul.

- Il manque une étape :

Concentré sur la difficulté de l'hérédité : il arrive que l'étape  ou l'étape ƒ soit oubliées.

Par exemple : considérons la propriété : 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq p n :

1) Prouver qu'elle est héréditaire. (On pourra s'inspirer du paragraphe "comment rédiger"

2) Prouver qu'elle est fausse pour tout entier naturel n.

- Confusion entre la fin de l'étape (l'hérédité) et l'étape ƒ

Il arrive que certains concluent l'étape par : ➤➤➤ Ecco Chaussures Solde Homme Paris Outdoor Livraison VqzMpSU

" alors p n + 1 est vraie pour tout entier n …"

L'étape consiste à montrer que si p n est vraie pour un entier n 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq alors p n + 1 est vraie pour l''entier n+1 qui suit n , et non pour une infinité d'entiers.

- Confusion entre 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq p n et nombre

On lit parfois par exemple: " p n =1+2+…+n "

Cette écriture n'a aucun sens, car p n 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq est une propriété: les valeurs qu'elle peut prendre sont "vraie" ou "fausse", en aucun cas p n ne peut être égal à un nombre (1+2+…+n est un nombre), le signe "=" ne peut convenir, car de part et d'autre de ce signe on n'a pas le même objet. Généralement quand on définit p n , on utilise comme ponctuation : « :»

V A vous

Activité de l'exemple 1:

n désignant un entier naturel non nul, on pose

par exemple avec n=7: Calculer vérifier

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Calculer 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq à l'aide de n-1 additions serait peu performant dès que n est un peu grand. On se propose donc de démontrer la formule suivante, beaucoup plus efficace :

p n :

1) Vérifier que cette formule convient pour . Vérifier

2) Démontrer cette formule par récurrence pour tout entier n supérieur à 1.

(On pourra s'inspirer de l'exemple de rédaction)

Exemple 2 En géométrie:

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets

1) Donner le nombre de diagonales d'un quadrilatère, d'un pentagone, d'un hexagone?

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3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq On note le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets, pour n supérieur ou égal à 4.

2) Que valent ,, et ?

Vérifier

3) Deux des formules suivantes sont vraies pour toute valeur de n supérieure ou égale à 4. Lesquelles ?

a) b) c)

d)      Commander En LigneÀ Baskets Compensées Sur Zalando b7gYf6y e) f)

Vérifier

4) Démontrer ces deux formules : la première en s'aidant d'une figure, la deuxième à l'aide de la première et d'un raisonnement par récurrence.

5) Combien de diagonales possède un polygone convexe à 100 sommets ?

Exemple 3 Démontrer une inégalité

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Indications:

On nomme p n l'inégalité :

1) À partir de quelle valeur de n cette inégalité semble-t-elle vraie ?

2) Écrire ce que sera p n + Nagano Bordeaux Charme Femme Cuir Chaussures Ara rCWEQxBdeo 1 .

3) Pour démontrer l'hérédité vaut-il mieux

* multiplier chaque membre de p n par 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq ?

* Multiplier chaque membre de p n par 2 ?

4) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6 :

5) On rappelle que si a , b, et c sont trois nombres réels:

Si a b et bc 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq alors a c

Démontrer l'hérédité de p n pour n supérieur ou égal à 6

6) Conclure le raisonnement par récurrence.

Exemple 4 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq Démontrer des propriétés d'une suite

Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n, p n :

Indications: Il y a plusieurs méthodes pour établir par récurrence la propriété p n

1) vérifier que p 0 est vraie.

3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq2) Pour prouver l'hérédité: une méthode efficace est d'utiliser les variations d'une fonction:

Posons f: R ,

ainsi : pour tout naturel n:

a) Etudier les variations de f sur , dresser son tableau de variations

b) En déduire l'hérédité de p n Trouver Chaussures À Troyes Des Où Geox 35qAjRLc4S .

3) conclure le raisonnement par récurrence.

Remarques :

- la question permet de prouver deux propriétés de cette suite: d'une part, elle est décroissante, d'autre part elle est minorée par 1.

- on peut observer que la fonction f est croissante, mais que la suite est décroissante:

La suite et sa fonction associée n'ont pas forcément le même sens de variation.

Exemple 5 En arithmétique

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Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

Pour tout entier naturel n supérieur à 2, on note : p n : 3 divise .

Indications pour une démonstration par récurrence:

1) ici l'étape  du raisonnement est donnée dans l'énoncé: p 2 est vraie car on sait que 3 divise

2) Pour démontrer l'étape , on pourra utiliser que :

- si 3 divise un entier b alors 3 divise aussi ab.

- si 3 divise un entier b et un entier c alors 3 divise b+c.

On peut aussi consulter pour d'autres activités: 3 Noir Automne Boots Par 25363 Hiver Chez Tamaris Trois BlackLow LpSUzMGjVq

http://www.ac-grenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_recurrence1.htm#