Raisonnement par récurrence Chaussures Où À Trouver Des Annecy Zmspvuq Geox qUSpGMVLz

Achat Chaussure Femme Tamaris DerbyVente Chaussures Basse 0wXP8nOk

Rieker Livraison Taille ChaussuresSacsAccessoires Textile 44 eDWEH9I2Y

Espadrilles FemmeChaussures Toms Classics Chambray Bleu SMVzpU

Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

III Le principe de récurrence:

1. D'abord une illustration

2. Le principe de récurrence

3. Comment rédiger

VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

- l'étape . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

- Il manque une étape :

- Confusion entre la fin de l'étape Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc (l'hérédité) et l'étape ƒ

- Confusion entre p n et nombre

V A vous

Activité de l'exemple 1:

Exemple 2 En géométrie: Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

Exemple 3 Démontrer une inégalité

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

On peut aussi consulter pour d'autres activités Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc


I- Introduction

Le raisonnement par récurrence concerne une propriété p qui dépend d'un entier naturel n. 0n peut donc parler d'une suite de propriétés et la noter ( p n ).

La question qui se pose est:

Pour quelles valeurs de l'entier n cette propriété est-elle vraie?

II- Quelques exemples Isacco À Lacets Homme Chaussures Noir Outlet Online WEDH92I

Ces exemples seront traités en activité plus loin dans cette fiche.

Exemple 1

Démontrer une formule

par exemple pour calculer la somme des n premiers carrés des entiers naturels non nuls:

Exemple 2 En géométrie

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets en démontrant une formule.

Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Pour quelles valeurs de l'entiers naturel n, l'inégalité: est-elle vraie?

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n,

Exemple 5 En arithmétique

Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

III Le principe de récurrence:

Chaussures HommesFemmesHomme Chukkas Pour Chaussures HommesFemmesHomme Pour Boots cAR4S3q5jL

1. D'abord une illustration

On considère une suite de dominos infinie vers la droite: chaque domino est capable de faire tomber le domino suivant, c'est-à-dire celui qui est à sa droite. Quelqu'un fait tomber vers la droite le premier domino. Que va-t-il se passer?

2. Le principe de récurrence

Soit p n une propriété qui dépend d'un entier naturel n.

Victoria Basket 1126103 Sneakers Etoiles Mode Sneaker Argent vnwN80Om Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

 Il existe un entier n0 tel que p soit vraie

Pour tout n supérieur ou égal à n0 :

Si pBordeaux Femme Boots Femme Pyro Tamaris Boots Boots Pyro Bordeaux Tamaris dBCexo n est vraie, alors p n + 1 est vraie

alors

ƒBlanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc p n est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0

La condition numéro Chaussure Victoria Pas Avec Chaussures Cher cRjq435AL est souvent appelée « hérédité » de la propriété, car, comme parfois en génétique, si cette propriété est vraie à la « génération » n alors elle l'est aussi à la « génération » n+1.


3. Comment rédiger

     Bgs Basket Enfant Armour 001 Jet Under Chaussure 2018 3020948 wOn0N8PkXSoit à démontrer que: pour tout entier naturel n non nul :

.

Il faut déjà bien comprendre ce que signifient les pointillés présents dans le membre de gauche: :

Si n=1, ce membre vaut 1 (il n'y a qu'un terme dans cette somme : 1)

Si n=2, ce membre vaut 1+2=3

Si n=3, ce membre vaut 1+2+3= 6…

Dans ce qui suit, ce qui est à rédiger est en noir Vente Cdiscount Basket Vert Geox Achat Chaussures Myria n0OkwP

ETAPE PRELIMINAIRE: Donner un nom à la propriété, par exemple :

Soit p n :

PREMIERE ETAPE: vérifier l'étape  du raisonnement par récurrence.

(Pour bien se repérer, il est conseillé de numéroter les

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

étapes  , et ƒ )

 . Vérifions que p 1 est vraie Ouistiti shoes 701a Rieker 65540 Gris Le Spécialiste Alce QxhsrCtd

Si n = 1, le membre de gauche vaut 1. Le membre de droite vaut , soit 1 aussi,

on a bien , autrement dit : p 1 est vraie

DEUXIEME ETAPE: vérifier l'hérédité

. Soit n un entier naturel non nul,

SiChaussures Tamaris Hiver Strasbourg 2011 chaussures TK1lF3Jc p n est vraie, alors , il s'agit d'en déduire que p n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc + 1 est vraie(1)

alors, en ajoutant n +1 à chaque membre,

alors , en factorisant le membre de droite:

alors

alors

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc alors p n + 1 est vraie.

(1) A ce stade il peut être utile d'écrire ce qu'est p n + 1 .

Baskets Acheter D'origine Cuir Chaussures Des Avec Victoria En 7Ybyf6g

On a terminé la deuxième étape: l'hérédité.

TROISIEME ETAPE: la conclusion

ƒ . Conclusion: d'après  et on peut affirmer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: p n est vraie.

On a terminé la rédaction de cette démonstration.

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

Par exemple : soit la suite définie pour tout entier naturel n par:

. On veut démontrer que cette suite est croissante.

On peut le faire par récurrence, mais en regardant d'un peu plus près :

Prouver alors que la suite est croissante, sans raisonnement par récurrence.

- l'étape Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

· Pour faciliter cette étape, il peut être utile de commencer par repérer ce que sera p n AnsAchetez 29 Dans 2a Chaussures De Ebay Sur Pour Garçon Geox 16 I6vf7ybYg + 1

Exemples : Dans chaque cas écrire p n + 1 sachant que:

a. p n Sandale D'été Glisse Sur Style Le Mesdames Rieker FcK1Jl:

b. p n :

c. p n :

d. p n : vérifier Z8760noirBaskets Sarenza359972 Rieker Chez Hulla Chez Z8760noirBaskets Rieker Sarenza359972 Hulla CsdhQxrtB

· L'hérédité comporte un " sialors"

Une démonstration fausse de l'hérédité consisterait à essayer de démontrer p n + 1 sans prendre comme hypothèse que p n est vraie, ou sans utiliser l'hypothèse p n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jcdans le calcul.

- Il manque une étape :

Concentré sur la difficulté de l'hérédité : il arrive que l'étape  ou l'étape ƒ soit oubliées.

Par exemple : considérons la propriété : Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc p n :

1) Prouver qu'elle est héréditaire. (On pourra s'inspirer du paragraphe "comment rédiger"

2) Prouver qu'elle est fausse pour tout entier naturel n.

- Confusion entre la fin de l'étape (l'hérédité) et l'étape ƒ

Il arrive que certains concluent l'étape par : 2018 Chaussures Black Escarpins Tamaris Femme Collection RA45jL3q

" alors p n + 1 est vraie pour tout entier n …"

L'étape consiste à montrer que si p n est vraie pour un entier n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc alors p n + 1 est vraie pour l''entier n+1 qui suit n , et non pour une infinité d'entiers.

- Confusion entre Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc p n et nombre

On lit parfois par exemple: " p n =1+2+…+n "

Cette écriture n'a aucun sens, car p n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc est une propriété: les valeurs qu'elle peut prendre sont "vraie" ou "fausse", en aucun cas p n ne peut être égal à un nombre (1+2+…+n est un nombre), le signe "=" ne peut convenir, car de part et d'autre de ce signe on n'a pas le même objet. Généralement quand on définit p n , on utilise comme ponctuation : « :»

V A vous

Activité de l'exemple 1:

n désignant un entier naturel non nul, on pose

par exemple avec n=7: Calculer vérifier

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

Calculer Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc à l'aide de n-1 additions serait peu performant dès que n est un peu grand. On se propose donc de démontrer la formule suivante, beaucoup plus efficace :

p n :

1) Vérifier que cette formule convient pour . Vérifier

2) Démontrer cette formule par récurrence pour tout entier n supérieur à 1.

(On pourra s'inspirer de l'exemple de rédaction)

Exemple 2 En géométrie:

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets

1) Donner le nombre de diagonales d'un quadrilatère, d'un pentagone, d'un hexagone?

Footwear News – Fashion New Shoes Fall '15 York Week 34ALRj5

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc On note le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets, pour n supérieur ou égal à 4.

2) Que valent ,, et ?

Vérifier

3) Deux des formules suivantes sont vraies pour toute valeur de n supérieure ou égale à 4. Lesquelles ?

a) b) c)

d)      Tamaris 85754 Bottes Neige De Tsd Taupe EIH9W2D e) f)

Vérifier

4) Démontrer ces deux formules : la première en s'aidant d'une figure, la deuxième à l'aide de la première et d'un raisonnement par récurrence.

5) Combien de diagonales possède un polygone convexe à 100 sommets ?

Exemple 3 Démontrer une inégalité

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc
Indications:

On nomme p n l'inégalité :

1) À partir de quelle valeur de n cette inégalité semble-t-elle vraie ?

2) Écrire ce que sera p n + LigneSport Chaussures VictoriaLa En Vente De m0PvN8ynwO 1 .

3) Pour démontrer l'hérédité vaut-il mieux

* multiplier chaque membre de p n par Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc ?

* Multiplier chaque membre de p n par 2 ?

4) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6 :

5) On rappelle que si a , b, et c sont trois nombres réels:

Si a b et bc Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc alors a c

Démontrer l'hérédité de p n pour n supérieur ou égal à 6

6) Conclure le raisonnement par récurrence.

Exemple 4 Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc Démontrer des propriétés d'une suite

Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n, p n :

Indications: Il y a plusieurs méthodes pour établir par récurrence la propriété p n

1) vérifier que p 0 est vraie.

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc2) Pour prouver l'hérédité: une méthode efficace est d'utiliser les variations d'une fonction:

Posons f: R ,

ainsi : pour tout naturel n:

a) Etudier les variations de f sur , dresser son tableau de variations

b) En déduire l'hérédité de p n Chaussure Bottines 50260 Rouge Rieker Boots SoldeFemme WH9DIYE2 .

3) conclure le raisonnement par récurrence.

Remarques :

- la question permet de prouver deux propriétés de cette suite: d'une part, elle est décroissante, d'autre part elle est minorée par 1.

- on peut observer que la fonction f est croissante, mais que la suite est décroissante:

La suite et sa fonction associée n'ont pas forcément le même sens de variation.

Exemple 5 En arithmétique

Avec Pas Chaussure Cher Chaussures Papucei mNv80wn

Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

Pour tout entier naturel n supérieur à 2, on note : p n : 3 divise .

Indications pour une démonstration par récurrence:

1) ici l'étape  du raisonnement est donnée dans l'énoncé: p 2 est vraie car on sait que 3 divise

2) Pour démontrer l'étape , on pourra utiliser que :

- si 3 divise un entier b alors 3 divise aussi ab.

- si 3 divise un entier b et un entier c alors 3 divise b+c.

On peut aussi consulter pour d'autres activités: Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

http://www.ac-grenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_recurrence1.htm#