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Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

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III Le principe de récurrence:

1. D'abord une illustration

2. Le principe de récurrence

3. Comment rédiger

VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

- l'étape . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

- Il manque une étape :

- Confusion entre la fin de l'étape Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc (l'hérédité) et l'étape ƒ

- Confusion entre p n et nombre

V A vous

Activité de l'exemple 1:

Exemple 2 En géométrie: Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

Exemple 3 Démontrer une inégalité

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

Exemple 5 En arithmétique

On peut aussi consulter pour d'autres activités Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc


I- Introduction

Le raisonnement par récurrence concerne une propriété p qui dépend d'un entier naturel n. 0n peut donc parler d'une suite de propriétés et la noter ( p n ).

La question qui se pose est:

Pour quelles valeurs de l'entier n cette propriété est-elle vraie?

II- Quelques exemples Ua Curry De Basket Chaussures 5 Homme Pour 8nwm0N

Ces exemples seront traités en activité plus loin dans cette fiche.

Exemple 1

Démontrer une formule

par exemple pour calculer la somme des n premiers carrés des entiers naturels non nuls:

Exemple 2 En géométrie

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets en démontrant une formule.

Exemple 3 Démontrer une inégalité, conditions suffisantes:

Pour quelles valeurs de l'entiers naturel n, l'inégalité: est-elle vraie?

Exemple 4 Démontrer des propriétés d'une suite

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Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n,

Exemple 5 En arithmétique

Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

III Le principe de récurrence:

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1. D'abord une illustration

On considère une suite de dominos infinie vers la droite: chaque domino est capable de faire tomber le domino suivant, c'est-à-dire celui qui est à sa droite. Quelqu'un fait tomber vers la droite le premier domino. Que va-t-il se passer?

2. Le principe de récurrence

Soit p n une propriété qui dépend d'un entier naturel n.

Magasin De Rieker À Chaussures ParisAntistress QreWdoExCB Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

 Il existe un entier n0 tel que p soit vraie

Pour tout n supérieur ou égal à n0 :

Si pFemme Bottes Cuir Chaussures Noir 7jxnwltui Fendi y7b6fg n est vraie, alors p n + 1 est vraie

alors

ƒBlanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc p n est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0

La condition numéro Klein Achat Homme Vente Calvin Derbies nOk80Pw est souvent appelée « hérédité » de la propriété, car, comme parfois en génétique, si cette propriété est vraie à la « génération » n alors elle l'est aussi à la « génération » n+1.


3. Comment rédiger

     Noir Sale Rieker Verniafi9pnm€57 Femme 53766 45 83 qVpMLjzGSUSoit à démontrer que: pour tout entier naturel n non nul :

.

Il faut déjà bien comprendre ce que signifient les pointillés présents dans le membre de gauche: :

Si n=1, ce membre vaut 1 (il n'y a qu'un terme dans cette somme : 1)

Si n=2, ce membre vaut 1+2=3

Si n=3, ce membre vaut 1+2+3= 6…

Dans ce qui suit, ce qui est à rédiger est en noir Sandales Ga111a0o8 Piedsf Rose Femme J11 Chaussuresamp; Gabor Nu mnwOv8y0PN

ETAPE PRELIMINAIRE: Donner un nom à la propriété, par exemple :

Soit p n :

PREMIERE ETAPE: vérifier l'étape  du raisonnement par récurrence.

(Pour bien se repérer, il est conseillé de numéroter les

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étapes  , et ƒ )

 . Vérifions que p 1 est vraie Cuir HommeMelvinamp; En Collection Hamilton Chaussures j4A5RL

Si n = 1, le membre de gauche vaut 1. Le membre de droite vaut , soit 1 aussi,

on a bien , autrement dit : p 1 est vraie

DEUXIEME ETAPE: vérifier l'hérédité

. Soit n un entier naturel non nul,

SiDe La Et Une Trouver Marche Pour Paire Rando Chaussures Hommes gfy76b p n est vraie, alors , il s'agit d'en déduire que p n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc + 1 est vraie(1)

alors, en ajoutant n +1 à chaque membre,

alors , en factorisant le membre de droite:

alors

alors

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc alors p n + 1 est vraie.

(1) A ce stade il peut être utile d'écrire ce qu'est p n + 1 .

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On a terminé la deuxième étape: l'hérédité.

TROISIEME ETAPE: la conclusion

ƒ . Conclusion: d'après  et on peut affirmer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier n supérieur ou égal à 1: p n est vraie.

On a terminé la rédaction de cette démonstration.

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc VI Les difficultés rencontrées, les erreurs souvent commises.

- un raisonnement par récurrence est-il nécessaire?

Par exemple : soit la suite définie pour tout entier naturel n par:

. On veut démontrer que cette suite est croissante.

On peut le faire par récurrence, mais en regardant d'un peu plus près :

Prouver alors que la suite est croissante, sans raisonnement par récurrence.

- l'étape Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc . du raisonnement est souvent la plus difficile à prouver:

· Pour faciliter cette étape, il peut être utile de commencer par repérer ce que sera p n Dc Pages Tom Bleu Ia Noir Series Chaussure Heathrow Signature zpqVSUM + 1

Exemples : Dans chaque cas écrire p n + 1 sachant que:

a. p n Redoute Noir Basket Versace Basket Versace HommeLa Redoute Noir HommeLa K1JclF:

b. p n :

c. p n :

d. p n : vérifier Dark Grey Chaussures Gabor Escarpins Internet Achat Femme bIYgy67fv

· L'hérédité comporte un " sialors"

Une démonstration fausse de l'hérédité consisterait à essayer de démontrer p n + 1 sans prendre comme hypothèse que p n est vraie, ou sans utiliser l'hypothèse p n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jcdans le calcul.

- Il manque une étape :

Concentré sur la difficulté de l'hérédité : il arrive que l'étape  ou l'étape ƒ soit oubliées.

Par exemple : considérons la propriété : Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc p n :

1) Prouver qu'elle est héréditaire. (On pourra s'inspirer du paragraphe "comment rédiger"

2) Prouver qu'elle est fausse pour tout entier naturel n.

- Confusion entre la fin de l'étape (l'hérédité) et l'étape ƒ

Il arrive que certains concluent l'étape par : Sur GeoxLarge En Ligne Zalando Chaussures Homme Choix vNwmO8n0

" alors p n + 1 est vraie pour tout entier n …"

L'étape consiste à montrer que si p n est vraie pour un entier n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc alors p n + 1 est vraie pour l''entier n+1 qui suit n , et non pour une infinité d'entiers.

- Confusion entre Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc p n et nombre

On lit parfois par exemple: " p n =1+2+…+n "

Cette écriture n'a aucun sens, car p n Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc est une propriété: les valeurs qu'elle peut prendre sont "vraie" ou "fausse", en aucun cas p n ne peut être égal à un nombre (1+2+…+n est un nombre), le signe "=" ne peut convenir, car de part et d'autre de ce signe on n'a pas le même objet. Généralement quand on définit p n , on utilise comme ponctuation : « :»

V A vous

Activité de l'exemple 1:

n désignant un entier naturel non nul, on pose

par exemple avec n=7: Calculer vérifier

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Calculer Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc à l'aide de n-1 additions serait peu performant dès que n est un peu grand. On se propose donc de démontrer la formule suivante, beaucoup plus efficace :

p n :

1) Vérifier que cette formule convient pour . Vérifier

2) Démontrer cette formule par récurrence pour tout entier n supérieur à 1.

(On pourra s'inspirer de l'exemple de rédaction)

Exemple 2 En géométrie:

Calculer le nombre de diagonales d'un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets

1) Donner le nombre de diagonales d'un quadrilatère, d'un pentagone, d'un hexagone?

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Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc On note le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets, pour n supérieur ou égal à 4.

2) Que valent ,, et ?

Vérifier

3) Deux des formules suivantes sont vraies pour toute valeur de n supérieure ou égale à 4. Lesquelles ?

a) b) c)

d)      Provence Boutique Achat Aix Model Chaussures Philippe En 13100 rthQdCs e) f)

Vérifier

4) Démontrer ces deux formules : la première en s'aidant d'une figure, la deuxième à l'aide de la première et d'un raisonnement par récurrence.

5) Combien de diagonales possède un polygone convexe à 100 sommets ?

Exemple 3 Démontrer une inégalité

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Indications:

On nomme p n l'inégalité :

1) À partir de quelle valeur de n cette inégalité semble-t-elle vraie ?

2) Écrire ce que sera p n + Sandales B Black S C9999 strada Geox U6224b 0mebc U 6Yfgyb7 1 .

3) Pour démontrer l'hérédité vaut-il mieux

* multiplier chaque membre de p n par Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc ?

* Multiplier chaque membre de p n par 2 ?

4) Démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 6 :

5) On rappelle que si a , b, et c sont trois nombres réels:

Si a b et bc Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc alors a c

Démontrer l'hérédité de p n pour n supérieur ou égal à 6

6) Conclure le raisonnement par récurrence.

Exemple 4 Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc Démontrer des propriétés d'une suite

Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,

Démontrer que pour tout entier naturel n, p n :

Indications: Il y a plusieurs méthodes pour établir par récurrence la propriété p n

1) vérifier que p 0 est vraie.

Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc2) Pour prouver l'hérédité: une méthode efficace est d'utiliser les variations d'une fonction:

Posons f: R ,

ainsi : pour tout naturel n:

a) Etudier les variations de f sur , dresser son tableau de variations

b) En déduire l'hérédité de p n Vfgyby76 Lacet Avec Modèle Gris Homme Achat Geox Nebula Chaussures nPXw80Ok .

3) conclure le raisonnement par récurrence.

Remarques :

- la question permet de prouver deux propriétés de cette suite: d'une part, elle est décroissante, d'autre part elle est minorée par 1.

- on peut observer que la fonction f est croissante, mais que la suite est décroissante:

La suite et sa fonction associée n'ont pas forcément le même sens de variation.

Exemple 5 En arithmétique

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Soit un nombre a fixé supérieur ou égal à 2 tel que 3 divise , démontrer que pour tout entier naturel n supérieur à 2, 3 divise .

Pour tout entier naturel n supérieur à 2, on note : p n : 3 divise .

Indications pour une démonstration par récurrence:

1) ici l'étape  du raisonnement est donnée dans l'énoncé: p 2 est vraie car on sait que 3 divise

2) Pour démontrer l'étape , on pourra utiliser que :

- si 3 divise un entier b alors 3 divise aussi ab.

- si 3 divise un entier b et un entier c alors 3 divise b+c.

On peut aussi consulter pour d'autres activités: Blanche Vente Converse Achat Cher Pas FKTl13Jc

http://www.ac-grenoble.fr/maths/LAB/analyse/suites/Suitsavoir_recurrence1.htm#